Segunda Avaliação de Prática de Ensino em Ciência da Natureza II
Eletromagnético
Professor: Rafael de Lima Rodrigues PERÍODO 2023.2
Aluno(a): 25-04-2024. Boa Sorte!
1) Em 1864, quando Maxwell deduziu teoricamente um valor da velocidade da onda eletromagnética que estava próximo do valor obtido pela experiência com um disco dentado em rotação realizada por Fizeau em 1849, medindo a velocidade da luz (315300 km/ s ), ele sugeriu que a luz fosse uma perturbação eletromagnética com a forma de uma onda que se propaga num campo eletromagnético de acordo com as leis do eletromagnetismo. Considerando as equações do eletromagnetismo clássico no vácuo Maxwell mostrou que os campos elétrico e magnético são ondas que se propagam com uma velocidade dada por
c = 1 /√(μ0𝜖0) = 1/( μ0𝜖0)1/2=3x108m/s ,
Convenção √y2=(y2)1/2=|y|, significa que a raiz quadrada de y2 é o móduo de y, |y|.
Exemplos: √4=(22)1/2=2, √9=(32)1/2=2 e √36=(62)1/2=6 .
com μ0 sendo a constante de permeabilidade magnética no vácuo e 𝜖0 a constante de permissividade elétrica no vácuo. Mostre que a componete do vetor campo elétrico se propagando na direção x positiva e vibrando (oscilando) na direção y, num instante de tempo t,
E( x, t) = E0exp(iωt−ikx) j,
com j sendo o vetor unitário no eixo y satisfaz a equação de onda e i é o número complexo, i2=-1. A letra em negrito, significa vetor.
Forma polar de um número complexo:
ei𝞡=exp(i𝞡)= cos(𝞡) + isen(𝞡)
Então, podemos escrever a compnente no eixo y do campo elétrico, E_y, em termos das funções harmônicas periódicas cosseno e seno de um ângulo, ou seja,
Ey=exp(iωt−ikx)=exp[i(ωt−kx)]= cos(ωt−kx) + isen(ωt−kx)
Note que a após substituir as derivadas parciais de segunda ordem, na posição(coordenada x) e no tempo, você irá encontrar a velocidade do campo elétrico.
Neste caso,
f(x,t)=E0exp(iωt−ikx).
Com E0 sendo a amplitude da onda, o comprimento de onda λ e o vetor-número de onda k estão relacionado por, λ=2𝜋/k. Usando a equação de onda unidimensional, demonstre que a velocidade da onda é v=ω/k.
Solução
Lembre-se que a derivada da exponencial de y em relação a y resulta na própria exponencial, ou seja,
d(ey)/dy=ey.
Portanto, usando a regra da cadeia, derivando duas vezes em relação ao tempo e em relação a coordenada de posição x, irá aparecer i2=-1, obtemos:
𝞉f(x,t)/𝞉x= iωf(x,t) ⇔ 𝞉2f(x,t)/𝞉t2= i2ω2f(x,t)=-ω2f(x,t)
e
𝞉f(x,t)/𝞉x2=-ikf(x,t)⇔𝞉2f(x,t)/𝞉x2=i2k2f(x,t).
Agora, basta substituir as derivadas parciais de segunda ordem na equação da onda.
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